数学并非由计算机凭空计算而来，而是一项人类活动，需要人脑基于千百年来的经验，自然也就伴随着人脑的一切优势和不足。你可以说这种思维过程是灵感和奇迹的源泉，也可以把它当作一种亟待纠正的错误，但我们别无选择。

人类当然可以进行逻辑思考，但这取决于如何理解问题。一种是理解形式数学证明每一步背后的逻辑。即便我们可以检查每一步的正确性，却可能还是无法明白各步如何联系到一起，看不懂证明的思路，想不通别人如何得出了这个证明。

而另一种理解是从全局角度而言的——只消一眼便能理解整个论证过程。这就需要我们把想法融入数学的整体规律，再把它们和其他领域的类似想法联系起来。这种全面的掌握可以让我们更好地理解数学这一整体，并不断进步——我们在当前阶段的正确理解很可能会为未来的学习打下良好基础。

反之，如果我们只知道“解”数学题，而不了解数学知识之间的关系，便无法灵活运用它们。

这种全局思维并非只是为了理解数学之美或者启发学生。人类经常会犯错：我们可能会搞错事实，可能做错判断，也可能出现理解偏差。在分步证明中，我们可能无法发现上一步推不出下一步。但从全局来看，如果一个错误推出了和大方向相悖的结论，这一悖论就能提醒我们存在错误。

比如，假设100 个十位数的和是 137 568 304 452。我们有可能犯计算错误，得到 137 568 804 452 这个结果，也可能在写下结果时错抄成 1 337 568 804 452。

这两个错误可能都不会被发现。要想发现第一个错误，很可能需要一步步地重新计算，而第二个错误却能通过算术的规律轻松地找到。因为9 999 999 999×100=999 999 999 900，所以 100 个十位数的和最多也只能有 12 位，而我们写下的却是个十三位数。

无论是计算还是其他的人类思维过程，把全局理解和分步理解结合起来是最可能帮助我们发现错误的。学生需要同时掌握这两种思维方式，才能完全理解一门学科并有效地实践所学的知识。要分步理解非常简单，我们只需要把每一步单独拿出来，多做练习，直到充分理解。全局理解就难得多，它需要我们从大量独立信息中找到逻辑规律。

即便你找到了一个适合当前情境的规律，也可能出现和它相悖的新信息。有些时候新信息会出错，但过去的经验也经常不再适用于新的情境。越是前所未有的新信息，就越可能超脱于既存的全面理解之外，导致我们需要更新旧的理解。

01 概念的形成

在思考具体领域的数学之前，可以先了解一下人类如何学习新的思想。因为基础性问题需要我们重新思考自认为了解的思想，所以明白这个学习过程就尤为重要。每当我们发现自己并没有完全了解这些思想，或者找到尚未探明的基本问题时，我们就会感到不安。不过大可不必惊慌，绝大部分人都有过相同的经历。

所有数学家在刚出生时都很稚嫩。这虽然听起来是句空话，却暗示了很重要的一点——即便是最老练的数学家也曾一步步地学习数学概念。遇到问题或者新概念时，数学家需要在脑海中仔细思考，回忆过去是否碰到过类似的问题。这种数学探索、创造的过程可没有一点逻辑。

只有当思绪的齿轮彼此啮合之后，数学家才能“感觉”到问题或者概念的条理。随后便可以形成定义，进行推导，最终把必要的论据打磨成一个简洁精妙的证明。

我们以“颜色”的概念为例，做一个科学类比。颜色的科学定义大概是“单色光线照射眼睛时产生的感觉”。我们可不能这样去教孩子。（“安杰拉，告诉我你的眼睛在接收到这个棒棒糖发出的单色光后产生了什么感觉……”）首先，你可以先教他们“蓝色”的概念。你可以一边给他们展示蓝色的球、门、椅子等物体，一边告诉他们“蓝色”这个词。然后你再用相同的方法教他们“红色”“黄色”和其他颜色。

一段时间之后，孩子们就会慢慢理解颜色的意义。这时如果你给他们一个没见过的物品，他们可能就会告诉你它是“蓝色”的。接着再教授“深蓝”和“浅蓝”的概念就简单多了。

重复这种过程许多次后，为了建立不同颜色的概念，你还需要再重新来一遍。“那扇门是蓝色的，这个盒子是红色的，那朵毛茛是什么颜色的呢？”如果孩子们能回答“黄色”，那就说明他们的脑海中已经形成了“颜色”这一概念。

孩子们不断成长，不断学习新的科学知识，可能有一天他们就会见到光线透过棱镜形成的光谱，然后学习光线的波长。在经过足够的训练，成为成熟的科学家之后，他们就能够精准地说出波长对应的颜色。但对“颜色”概念的精确理解并不能帮助他们向孩子解释“蓝色”是什么。在概念形成的阶段，用波长去清楚明白地定义“蓝色”是无用的。

数学概念也是如此。读者的头脑中已经建立了大量的数学概念：解二次方程、画图像、等比数列求和等。他们也能熟练地进行算术运算。我们的目标就是以这些数学理解为基础，把这些概念完善到更复杂的层面。我们会用读者生活中的例子来介绍新概念。随着这些概念不断建立，读者的经验也就不断丰富，我们就能以此为基础更进一步。

虽然我们完全可以不借助任何外部信息，用公理化的方法从空集开始构建整个数学体系，但这对于尚未理解这一体系的人来说简直就是无字天书。专业人士看到书里的一个逻辑构造之后，可能会说：“我猜这是‘0’，那么这就是‘1’，然后是‘2’……这一堆肯定是‘整数’……这是什么？哦，我明白了，这肯定是‘加法’。”但对于外行来说，这完全就是鬼画符。要想定义新概念，就要用足够的例子来解释它是什么，能用来做什么。当然，专业人士通常都是给出例子的那一方，可能不需要什么理解上的帮助。

02 基模??

数学概念就是一组系统的认知——它们源于已经建立的概念的经验，以某种方式互相关联。心理学家把这种系统的认知称作“基模”。例如，孩子可以先学习数数（“一二三四五，上山打老虎”），然后过渡到理解“两块糖”“三条狗”的意思，最后意识到两块糖、两只羊、两头牛这些事物存在一个共通点——也就是“2”。那么在他的脑海中，就建立起了“2”这一概念的基模。

这一基模来源于孩子自身的经验：他的两只手、两只脚，上周在田地里看到的两只羊，学过的顺口溜……你会惊讶地发现，大脑需要把许多信息归并到一起才能形成概念或者基模。

孩子们接着就会学习简单的算术（“假设你有五个苹果，给了别人两个，现在还剩几个”），最终建立起基模，来回答“5 减 2 是多少”这种问题。算术有着非常精确的性质。如果 3 加 2 等于 5，那么 5 减 2 也就等于 3。孩子们在理解算术的过程中就会发现这些性质，之后他们就可以用已知的事实去推导新的事实。

假设他们知道8 加 2 等于 10，那么 8 加 5 就可以理解为 8 加 2 加 3，那么这个和就是 10 加 3，结果是 13。孩子们就这样慢慢地建立了整数算术这一内容丰富的基模。

如果你这时问他们“5 减 6 得多少”，他们可能会说“不能这么减”，或者心想成年人怎么会问这种傻问题，尴尬地咯咯笑。这是因为这个问题不符合孩子们脑海中减法的基模——如果我只有 5 个苹果，那不可能给别人 6 个。而在学习过负数之后，他们就会回答“ -1”。为什么会有这种变化呢？这是因为孩子们原有的“减法”基模为了处理新的概念产生了变化。

在看到了温度计刻度或是了解了银行业务之后，对于“减法”概念的理解就需要改变。在这个过程中，可能仍会心存困惑（ -1 个苹果是什么样的？），但这些困惑最终都会得到令人满意的解释（苹果数量和温度计读数存在本质区别）。

学习过程有很大一部分时间就是让现有的基模变得更复杂，从而能够应对新概念。就像我们刚刚说的，这个过程确实会伴随着疑惑。要是能毫无困惑地学习数学该有多好。

可是很不幸，人不可能这样学习。据说2000 多年前，欧几里得对托勒密一世说：“几何学习没有捷径。”除了意识到自己的困惑，了解困惑的成因也很重要。在阅读本书的过程中，读者将会多次感到困惑。这种困惑有时源于作者的疏忽，但一般可能是因为读者需要修正个人的认知才能理解更一般的情形。

这是一种建设性的困惑，它标志着读者取得了进步，读者也应当欣然接受——要是困扰太久那就另当别论了。同样，在困惑得到解决后，一种理解透彻的感觉就会伴随着莫大的喜悦油然而生，就好像完成了一幅拼图。

数学确实是一种挑战，但这种达成绝对和谐的感觉让挑战成为了满足我们审美需求的途径。